Сложные выражения с дробями
Пример 3. Обобщённое понятие модуля числа Шаг Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей? Вы поняли, как решать? Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:.
Для того, чтобы сложить две дроби, нужно сначала привести их к общему знаменателю, а затем выполнить сложение:. Для того, чтобы из одной дроби вычесть другую, нужно сначала привести их к общему знаменателю, а затем выполнить вычитание:. Для того, чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить соответственно их числители и знаменатели :. Для того, чтобы одну дробь разделить на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:.
Меню Подобрать занятия. Учебник Избранные статьи. Скачайте мобильное приложение и читайте Фоксфорд Учебник на телефоне и планшете. Арифметические действия с дробями: правила и примеры. Понятно Непонятно Войдите или зарегистрируйтесь , чтобы голосовать.
А еще вы сможете сохранять статьи в «избранное» и смотреть видеоуроки. Следующая статья. Рациональные числа. Выбирайте, что поможет вам достичь целей. Я — Мистер Фокс, ваш онлайн-помощник. Ответьте на несколько вопросов, а я помогу за 5 минут подобрать подходящие варианты обучения.
В основном, задача сводится к нахождению наименьшего общего знаменателя дробей, а это делается, как мы уже знаем, по аналогии с обыкновенными дробями. Рассмотрим примеры. Пример 1. Выполнить действие. Для нахождения наименьшего общего знаменателя дробей воспользуемся основной теоремой арифметики и разложим знаменатели на простые множители. Следовательно, и. Вспомним, что наименьший общий знаменатель должен содержать множители всех знаменателей, причем так, чтобы множителей было минимально возможное количество.
В нашем случае необходимы множители. Следовательно, общий знаменатель , а дополнительные множители: к первой дроби , ко второй дроби. Как видно из решения, удобно даже не перемножать простые множители в знаменателе до получения числителя общей дроби, чтобы потом было легче сокращать дробь. Теперь рассмотрим аналогичные операции с алгебраическими дробями. Не сложно догадаться, что самой трудоемкой частью сложения или вычитания дробей с разными знаменателями является нахождение наименьшего общего знаменателя.
Если в случае обыкновенных дробей можно было пользоваться разложением чисел на множители, то в алгебраических дробях на множители необходимо будет раскладывать многочлены. Для этого существует несколько известных нам методов: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения и метода группировки слагаемых. Рассмотрим более подробно их применение для решения сложных задач на сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями.
Пример 2. Выполнить действия.
Для нахождения наименьшего общего знаменателя и дополнительных множителей разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель уже представляет собой простое выражение, а второй раскладывается по формуле разности квадратов:. Как видно по ходу решения, в качестве наименьшего общего знаменателя выбран знаменатель второй дроби, который делится и на первый знаменатель и сам на себя. Дополнительный множитель в таком случае пригодился только для первой дроби.
Пример 3. Поступим аналогично с предыдущим примером и разложим по ходу решения знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов, перед этим внесем минус перед дробью в знаменатель для того, чтобы он получил более удобный вид:.
Пример 4. Как и ранее, разложим на множители каждый знаменатель, найдем наименьший общий знаменатель и дополнительные множители. Как и ранее, для приведения выражения к удобному виду, вынесем минус из знаменателя второй дроби.
Поскольку в выражении присутствует три дроби, чтобы не запутаться, выпишем наименьший общий знаменатель отдельно, составив его из множителей, входящих во все знаменатели:.
Исходя из него, укажем и дополнительные множители для каждой из дробей, как те множители, которых не хватает знаменателю, чтобы стать общим. Последний переход раскрывание скобок не принципиален, и можно было указать в ответ выражение, записанное предпоследним. Пример 5. Поступаем уже известным для нас образом: раскрываем знаменатели на множители, при необходимости меняем знаки в знаменателях дробей, находим наименьший общий знаменатель и дополнительные множители.
