Точка пересечения медиан треугольника
Все права защищены. В силу утверждения 4 справедливы равенства:. Если обозначить буквой M точку пересечения медиан этого треугольника рис. Пусть стороны треугольника ABC равны a , b , c. Теорема Шаля.
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой отрезка противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая зовется точкой пересечения медиан. Медианы, в отличие от высот, всегда лежат внутри треугольника.
Это логично, ведь отрезок медианы соединяет вершину и середину стороны. А середина стороны всегда лежит внутри треугольника. Если соединить два любых основания медиан отрезком, то получится средняя линия треугольника.
Три средние линии треугольника образуют треугольник, подобный изначальному с коэффициентом подобия Есть еще одно любопытное свойство медиан, которое позволит не запутаться при построении золотого сечения треугольника.
Медиана в треугольнике всегда располагается между высотой и биссектрисой исключение — равнобедренный и равносторонний треугольники. Приведем формулу вычисления длины медианы по трем сторонам. Эта формула часто используется при решении задач, и потому ее желательно запомнить. Зачастую ученикам проще запомнить словесную формулировку, а не заучивать формулу.
Чтобы найти медиану по трем сторонам, нужно взять корень из сумм удвоенных квадратов сторон минус квадрат стороны, к которой проведена медиана.
Полученный корень нужно поделить пополам. Точка пересечения медиан является одной из 3 замечательных точек треугольника, которые составляют золотое сечение треугольника. Точка пересечения медиан единственная из золотого сечения треугольника, имеет реальный физический смысл.
Если из картона вырезать треугольник, тонким карандашом провести в нем медианы, то точка их пересечения будет центром тяжести плоской фигуры. Аналогичным образом показывается, что точки B 1 и B 3 , C 1 и C 3 лежат на этой окружности. Значит, все девять точек лежат на одной окружности.
Что и требовалось доказать. Прямая Эйлера. В треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера. При этом центр окружности девяти точек лежит посередине между центром пересечения высот и центром описанной окружности.
Действительно, пусть в треугольнике ABC рис. Рассмотрим гомотетию с центром в точке G и коэффициентом -0,5. Высоты треугольника ABC перейдут в серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника и, следовательно, точка пересечения высот H перейдет в точку пересечения серединных перпендикуляров O.
Значит, точки O , G , H лежат на одной прямой.
Покажем, что середина N отрезка OH является центром окружности девяти точек. Действительно, C 1 C 2 — хорда окружности девяти точек. Поэтому серединный перпендикуляр к этой хорде является диаметром и пересекает OH в середине N. Аналогично, серединный перпендикуляр к хорде B 1 B 2 является диаметром и пересекает OH в той же точке N.
Значит N — центр окружности девяти точек. Докажите, что радиус окружности Эйлера в два раза меньше радиуса окружности, описанной около исходного треугольника. Прямая Симсона. Для произвольного треугольника основания перпендикуляров, опущенных из любой точки описанной окружности на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой, называемой прямой Симсона.
Действительно, пусть P — произвольная точка, лежащая на окружности, описанной около треугольника ABC ; D, E, F — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны треугольника рис. Требуется доказать, что точки D, E, F лежат на одной прямой. Опишем окружность с диаметром CP. Опишем окружность с диаметром BP. Значит точки D, E, F лежат на одной прямой. Литература 1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть I. Учпедгиз, Москва, Перепелкин Д. Курс элементарной геометрии.
ОГИЗ, Гостехиздат. Москва, Ленинград, 3. Зетель С. Новая геометрия треугольника. Кокстер Г. Введение в геометрию. Коксетер Г. Новые встречи с геометрией. Прасолов В. Задачи по планиметрии. Шклярский Д. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Часть 2. Геометрия Планиметрия. Следовательно, площадь треугольника ACD равна Задача 2. Площадь четырехугольника ADFE равна Выведем формулу, выражающую биссектрисы треугольника через его стороны.
Получим Откуда Непосредственная проверка показывает, что Окончательно получаем следующую формулу Задача. Докажите, что для высот h a , h b , h c треугольника и радиуса r окружности, вписанной в этот треугольник, имеет место равенство Рассмотрим некоторые другие замечательные точки и линии в треугольнике.
Окружность девяти точек Теорема. Прямая Эйлера Теорема.
